- 06.12.2010
- 2825 Просмотров
- Обсудить
Есть у меня маленькое хобби - решать головоломки и школьные задачки по математике.
Давненько не брал я в руки шашек...
Всмысле, не писал об этом.
Инверсия относительно окружности S с центром O и радиусом R — это такое преобразование плоскости, при котором любая точка A переходит в точку A', лежащую на луче OA и такую, что OA * OA' = R^2.
Что можно заметить из свойств инверсии сразу:
- точки окружности S переходят сами в себя;
- если точка A переходит в A', то A' переходит в A — для любой точки A;
- все точки из внутренней части окружности S переходят в её внешнюю часть, а все точки из внешней части — во внутреннюю.
Ещё свойства инверсии, уже не очевидные, но которые несложно доказать:
- Если A переходит в A' и B переходит в B', и точки O, A, B не лежат на одной прямой, то треугольники OAB и OA'B' подобны.
- Прямая, проходящая через центр инверсии O, переходит сама в себя.
- Прямая, не проходящая через центр инверсии O, переходит в окружность, проходящую через O.
- Окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O.
- Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O.
Есть и другие свойства инверсии.
См. например, книгу В.В. Прасолова "Задачи по планиметрии".
Ещё свойства инверсии:
- При инверсии касающиеся друг друга окружности или окружность и прямая, если точка касания отлична от O, переходят в касающиеся друг друга окружности или окружность и прямую, т.е. сохраняется свойство касания. Если точка касания совпадает с O, то получаются две параллельные прямые.
- При инверсии сохраняется угол между окружностями или прямыми, или окружностью и прямой. (Угол между окружностями — угол между касательными к ним, проведёнными в точках пересечения окружностей.)
- Две непересекающиеся окружности (или окружность и прямую) можно с помощью подходящей инверсии перевести в две концентрические окружности.
Инверсия помогает быстро и красиво решить следующие задачи:
- Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной окружности (прямой).
Инверсия относительно окружности S с центром O и радиусом R — это такое преобразование плоскости, при котором любая точка A переходит в точку A', лежащую на луче OA и такую, что OA * OA' = R^2.
Что можно заметить из свойств инверсии сразу:
- точки окружности S переходят сами в себя;
- если точка A переходит в A', то A' переходит в A — для любой точки A;
- все точки из внутренней части окружности S переходят в её внешнюю часть, а все точки из внешней части — во внутреннюю.
Ещё свойства инверсии, уже не очевидные, но которые несложно доказать:
- Если A переходит в A' и B переходит в B', и точки O, A, B не лежат на одной прямой, то треугольники OAB и OA'B' подобны.
- Прямая, проходящая через центр инверсии O, переходит сама в себя.
- Прямая, не проходящая через центр инверсии O, переходит в окружность, проходящую через O.
- Окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O.
- Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O.
Есть и другие свойства инверсии.
См. например, книгу В.В. Прасолова "Задачи по планиметрии".
Ещё свойства инверсии:
- При инверсии касающиеся друг друга окружности или окружность и прямая, если точка касания отлична от O, переходят в касающиеся друг друга окружности или окружность и прямую, т.е. сохраняется свойство касания. Если точка касания совпадает с O, то получаются две параллельные прямые.
- При инверсии сохраняется угол между окружностями или прямыми, или окружностью и прямой. (Угол между окружностями — угол между касательными к ним, проведёнными в точках пересечения окружностей.)
- Две непересекающиеся окружности (или окружность и прямую) можно с помощью подходящей инверсии перевести в две концентрические окружности.
Инверсия помогает быстро и красиво решить следующие задачи:
- Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной окружности (прямой).
- Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных окружностей (прямой и окружности).
- (Задача Аполлония) Построить окружность, касающуюся трёх данных окружностей.
А вот интересно, как свою задачу решил сам Аполлоний? Ведь в Древней Греции не знали об инверсии. Или знали?
- (Задача Аполлония) Построить окружность, касающуюся трёх данных окружностей.
А вот интересно, как свою задачу решил сам Аполлоний? Ведь в Древней Греции не знали об инверсии. Или знали?
Теги
Похожие материалы
Никто не решился оставить свой комментарий.
Будь-те первым, поделитесь мнением с остальными.
Будь-те первым, поделитесь мнением с остальными.